선형대수 (1) 벡터의 개념과 연산

 

벡터란?

 

크기와 방향을 갖는 물리량을 벡터량이라고 하고 이를 수학적으로 추상화하여 만든 개념 이 벡터이다. 이 때, 크기만으로 설명되는 질량, 속력, 길이 등의 물리량을 스칼라량이라 하고 크기와 방향으로 표현되는 힘, 속도, 변위등이 벡터량이다.

 

Vector has magnitude and direction. If you say '5mph' it is just a speed which fits into 'scalar', but if you say '5mph east' it becomes velocity, which is a vector.

 

벡터의 크기 (magnitude):

 

상등

크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다. 즉, 평행이동(translation)하여 포개지면 두 벡터는 같다.

 

If magnitude and direction are the same, that vector is equivalent.

 

시점이 원점인 벡터를 위치벡터라고 부른다. 위치벡터는 자기자신을 평행이동하여 얻어지는 모든 벡터를 대표한다. 위치벡터의 좌표를 벡터의 성분표현으로 사용한다.

 

 

차원

|R : real coordinate space. n제곱인지에 따라 n차원인지가 결정된다. All possible real-valued tuples. 모든 가능한 실수로 구성된 행렬의 집합 (n차원이면 n성분의 행렬)

 

 

 

 

 

벡터의 연산

두 개의 위치벡터를 더하는 법 : x는 x끼리, y는 y끼리 더한다.

벡터의 스칼라곱 : x와 y 각각에 주어진 스칼라(실수)를 곱한다.

 

(2, 1)의 위치벡터 v가 있다고 하자.  

v의 스칼라 곱들로 이루어진 집합을 S로 정의한다면: 이 벡터를 무한대로 연장한 선이 만들어질 것이다. 이 것을 Colinear vector (slope vector)라고 한다.  이 때, S와 평행한 모든 선을 표현하고 싶다고 하자. 

 

L = {x벡터 + tv벡터 | t ㅌ |R }로 표현 가능하다.

 

v벡터를 기울기로 계산하여 t스칼라곱(t는 실수)으로 변형 가능하게 만든다. 여기에 v벡터를 x (수평), y(수직)로 나눈 다음, 이 중 하나를 더하면 집합 L이 완성된다. v벡터를 스칼라곱하여 직선으로 만든 다음, 이 직선을 x만큼 가게 만들어도 되고, y만큼 위로 올려도 된다. 

x와 v의 좌표는 주어져 있으므로, 이를 행렬로 계산하면 L의 x와 y식이 t의 형태로 계산 된다. 이렇게 직선의 방정식을 도출 가능하다.

 

만약 3차원을 가정하여, x와 y, z의 식을 따로따로 구하면 선이 아니라 x+y+z = k라는 면이 만들어진다.

 

 

 

단위 벡터

크기가 1인 벡터. 모든 벡터는 단위 벡터의 합으로 표현될 수 있다. 

위치가 (-3,-4)와 일치하는 단위 벡터 구하기: (-3/5, -4/5)

 

 

 

 

참고: Khan Academy, 서보윤 교수님의 경제수학(1) 수업