선형대수 (2) 벡터의 내적과 정사영

벡터공간

차원을 추상하고 일반화한 것이 벡터 공간이다.

만약 아래 8가지 공리를 만족시킨다면, 벡터공간으로서의 조건을 충족한다.

벡터 공간 안에 있는 원소를 벡터라고 부른다.

벡터연산의 성질

1. a + b = b + a
2. a + (b + c) = (a + b) + c
3. a + 0 = a
4. a + (- a) = 0
5. (k + l)a = ka + la
6. k (a + b) = ka + kb
7. (kl)a = k(la)
8. 1a = a

다항식의 벡터화

위 공리에 따르면 다항식 또한 벡터공간이다.

증명하자면,

 

Px = {ax^ + bx + c |a,b,c ㅌ R}

f,g ㅌ P2

f = a1x^ + b1x + c1

g = a2x^ + b2x + c2

f + g = (a1+a2)x^ + (b1+b2)x + (c1+c2)

kf = (ka1)x^ + (kb1)x + kc1

 

벡터를 일반화한 것이 선형대수이다. 이는 2차원, 3차원에 국한되지 않고 n차원까지 확장할 수 있는 기본 토대가 된다.

 

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벡터의 내적

정의

<X,Y> = X ・ Y = X1Y1 + X2Y2 + ...XnYn

X = (x1, x2, ..., xn)

y = (y1, y2, ..., yn)

 

EX)

A = (1,2) B = (2,1)

A ・ B = (1,2) ・ (2,1) = <(1,2),(2,1)> = 1・2 + 2・1 = 4

• a ・ b = ||a|| ||b|| cos⌀이기도 하다. (코사인 제2법칙 사용하여 증명 가능)
• 따라서 앞선 예에서는, cos⌀이 4/5라는 것을 도출할 수 있다.
• 만약 a와 b의 내각이:

  • 0 : 예각이다.

  • < 0 : 둔각이다.
  • = 0 : 수직이다. (cos⌀이 0이기 때문)
• a와 a 자신의 내각은, a의 길이와 동일하다.

내적의 성질

1. a ・ b = b ・ a
2. a ・ a = ||a||^2
3. a ・ (b + c) = a ・ b + a ・ c
4. k (a ・ b) = (ka) ・ b = a ・ (kb)
5. a ・ a = 0 <—> a = 0

함수의 내적

두 함수의 내적은 정적분으로 표현할 수 있다.

증명:

1. N차원 벡터를 만들기 위해 함수의 x값을 n등분한다고 생각해보자.
2. N번째 구간의 각 대표값이 n번째 원소의 벡터에 대응한다고 생각하자.
3. 벡터를 내적한 값이 수렴하도록 각 항에 구간의 크기를 곱한다.
4. N값이 무한으로 수렴하면, 내적한 값은 적분 값으로 수렴한다.

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벡터의 정사영

정의

벡터 b를 벡터a위로 정사영시킨 벡터는 (조건: a는 0벡터가 아니다):

저 빗금이 똑바른 선이어야 하는데... 그리기 fail

 

두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 벡터 b의 종점을 벡터 a에 수선의 발을 내리고, 그것을 종점으로 하는 벡터를 정사영이라고 한다.

(요약하자면, 벡터 b의 벡터 a 방향의 성분벡터이다. b가 a에 도달하기까지 걸리는 거리!)